本文通过分层方式构建结构化深度神经网络（DNN），系统地开发了分层深度学习神经网络（HiDeNN），并建立了表示有限元方法（简称HiDeNN FEM）的HiDeNN特例。在HiDeNN FEM中，权重和偏差是节点位置的函数，因此HiDeNN有限元中的训练过程包括节点坐标的优化。这是r-自适应的应用，它提高了插值的局部和全局精度。通过固定隐藏层的数量并通过训练DNN来增加神经元的数量，可以实现自适应，从而进一步提高解的准确性。与标准有限元法相比，HiDeNN有限元法进行的数值算例显示出减小的近似误差。最后，通过所提出的DNN的层次结构，说明了多维度和拓扑优化的广义HiDeNN到高阶连续性的前景。

本文通过分层方式构建结构化深度神经网络（DNN），系统地开发了分层深度学习神经网络（HiDeNN），并建立了表示有限元方法（简称HiDeNN FEM）的HiDeNN特例。在HiDeNN FEM中，权重和偏差是节点位置的函数，因此HiDeNN有限元中的训练过程包括节点坐标的优化。这是r-自适应的应用，它提高了插值的局部和全局精度。通过固定隐藏层的数量并通过训练DNN来增加神经元的数量，可以实现自适应，从而进一步提高解的准确性。与标准有限元法相比，HiDeNN有限元法进行的数值算例显示出减小的近似误差。最后，通过所提出的DNN的层次结构，说明了多维度和拓扑优化的广义HiDeNN到高阶连续性的前景。